本文目录索引

• 1，费马点的证明与背景(证明要有图)
• 2，费马点的实际用途
• 3，费尔马点
• 4，费马点的证明是什么？
• 5，费马点的证明过程 要详细
• 6，一个三角形，取一个点使之到三角形三个顶点的距离之和最短，这个点要取在何处？请具体证明，如需讨论请分

1，费马点的证明与背景(证明要有图)

　　费马点的证明 　　如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。 　　合并图册 　　合并图册(2张) 　　以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD 　　∵旋转60°，且BD=BP， 　　∴△DBP 为一个等边三角形 　　∴PB=PD 　　因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC 　　由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小 　　若E、D、P共线时， 　　∵等边△DBP 　　∴∠EDB=120° 　　同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120° 　　∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。 　　历史背景 　　皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。 　　著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。 　　费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

2，费马点的实际用途

费马点的研究与应用
一、 研究动机
未来21世纪高雄将跟上首都台北的脚步---兴建捷运系统，将海都高雄完全发展成最先进的都会区。高雄捷运跟台北不一样，采地下化建筑，其中红线与橘线基本路网已经规划好，听爸爸说，不管是哪一路线都需建捷运主机厂，主机厂对於捷运相当於心脏对於人类，於是便想：是否能找到一个位置到各捷运站的的距离和为最小，以方便控制？
又从文献上得知在三角形中有一点到三顶点距离和为最小，称为「费马点」，於是即以此为出发点，对费马点的性质来进行一系列的探讨与研究。
二、 研究目的
（一） 以数学方法证明费马点的存在及其特性。
（二） 运用物理学方法探讨费马点之相关理论。
（三） 求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果。
（四） 探讨费马点在生活中的应用实例。
三、 研究设备器材
滑轮、木条、棉线、黏土块、方格纸、量角器。
四、 研究过程
(一) 以数学方法证明费马点的存在及其特性：
Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作 法及证明，我把文献上找到的一一列於附件说明，另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点：
1.费马点之求法（参考图一）。
(1) 做一三内角均小於120°之△ABC。
(2) 以 ， 为一边，分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE。
(3) 连接 ， 交於P点，则P点即为所求。
2.费马点的性质：L= + + 为最小值。
～首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.（参考图二）旋转△BPC，
使 与 重合（ = ），
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A，P，H，G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ， =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△，得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
～再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.（参考图三）在ABC内另取一点Q异於P，
连接 、 、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部，那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形，是否能找到一点至三顶点距离和最短？（参考图四）
(1) △ABC的∠A＞120°，P为△ABC内部任一点
延长 至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合，则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°，则费马点即为该内角的顶点。
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点，但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ！也就是如果改变形状后是否能找到一点P点，使得P点至顶点距离和最小，我们以下就最简单的四边形先做讨论（参考图五）。

(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
发现： 、 之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明：（参考图六）
在四边形ABCD内另取一点P'异於P
连接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任两边和大於第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之
母』，那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ？参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1. 实验一：从三力平衡证明费马点的性质－ 、 、 所夹的三个角必为120°。
(1) 以木条为边组装正三角形，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，另一端连在一起代表P点。
(2) 让重物自然垂下到达静止状态，量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）。
(3) 因为三重物重量相等，三条线的张力亦相同，即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形，亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°。
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方，纪录P点座标，再和（三）求出之P点一次函数，以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合。
(5) 重复以上步骤5次，并改变三角形的形状重复操作。
2. 实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性。
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，由实验一已知P点为费马点。
(2) 於P点（费马点）悬挂一黏土块W，让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C），量测此时P点与水平面之垂直距离，分别作三次后取平均值，高度为hP。
(3) 将P点任意移向三边 、 、 上任意点，然后将重物放开，发现不论在任何边上，均会趋向费马点。根据「物体会自由趋向能量最低点」的原理，可证明费马点具有最低的位能。
(4) 将步骤(3)之实验过程分别纪录得到位能高度h'（三次平均值）、 、 （代表从 点释放后的状况，依此类推）、 、 、 、 （数据说明在表二）。
(5) 重复以上步骤3次，并改变三角形的形状重复操作。
(三)求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果———直角座标常被利用在地图的表示上，是否我们能找出求作直角座标系中的P点（P点为至各顶点距离和最小的一点）再配合电脑程式来验证我们实验结果？
(1) 三角形---
a.为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点，做法乃利用前述（一）的想法
b.以下先就特殊三角形一一做讨论再推广至一般三角形
ㄅ.三角形（参考图七）
=
= =
故P点座标为（ ）
ㄆ.等腰三角形（参考图八）
∵四边形AOBC为鸢形
∴
又∠OPC=120°
因此∠OPD=60°
故 = = =
则P点座标为（ ）


ㄇ.直角三角形（参考图九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，D四点座标代入
求 ， 之方程式并解联立方程式
： y= x+y1
： y= (x-x1)
得P点座标为
ㄈ.等腰直角三角形

等腰直角三角形为等腰三角形之一种，故P点座标可参考等腰三角形之求法。同理P点座标也可参考直角三角形之求法。
ㄉ.任意三角形（参考图十）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，D四点座标代入
求 ， 并解联立方程式
： y=
： y=
得P点座标为
(2) 四边形---
a. 为方便起见一边固定於x轴上且一顶点为原点，做法乃利用前述（三）的想法
b. 以下先就特殊四边形一一做讨论再推广至任意四边形
ㄅ.正方形（参考图十一）
∵四边形ABCO为正方形
∴ 平分 且 =
（正方形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄆ.长方形（参考图十二）
∵四边形ABCO为长方形
∴ 平分 且 =
（长方形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄇ.平行四边形（参考图十三）
∵四边形ABCO为平行四边形
∴ 平分 且 =
（平行四边形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
ㄈ.菱形（参考图十四）
∵四边形ABCO为菱形
∴ 平分 且 =
（菱形中对角线互相平分）
故P点座标为（ ）
发现：若四边形对角线互相平分，
则其P点为此四边形对角线之中点。
ㄉ.等腰梯形（参考图十五）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设 为 ， 为y-




( )
∴
又∵ABCO为等腰梯形
∴
故P点座标为（ ）
ㄊ.两个内角为直角的梯形（参考图十六）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设 为 ， 为y-


( ) =
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC

设 为


∴
故P点座标为（ ）
ㄋ.任意梯形（参考图十七）
作 // //
∵ // //
∴△ABP~△OPC

设 为 ， 为y-



( )=
∴
∵ // //
∴△ADP~△AOC

设 为


∴
故P点座标为（ ）
（以下为方便起见，将两顶点固定於x轴上）
ㄌ.鸢形（参考图十八）
∵ 为对角线
∴P点在x轴上
又四边形ABCO为鸢形
∴ 平分且
故P点座标为（ ）
ㄍ.任意凸四边形（参考图十九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A，B，C，O四点座标代入
求 ， 之方程式并解联立方程式
： y=
： y=0
得P点座标为

五、 研究结果
以下配合直角座标及物理实验，依图形形状不同一一分析物理及数学所求的数据，找出其相关性。
（一） 正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意锐角三角形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正三角形：（ ）
2. 等腰三角形：（ ）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（ ）或
5. 任意三角形：
（二） 正方形、长方形、平行四边形、菱形、等腰梯形、两个内角为直角的梯形、任意梯形、鸢形和任意四边形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正方形、长方形、平行四边形、菱形：（ ）
2. 等腰梯形：（ ）
3. 两个内角为直角的梯形：（ ）
4. 任意梯形：（ ）
5. 鸢形：（ ）
6. 任意四边形：
（三） 实验一数据（表一）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)

次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠APB 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠BPC 120° 119° 119° 120° 117°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2,1.154701)
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)

次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 123° 118° 119° 122° 120°
∠APB 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠BPC 121° 120° 121° 121° 119°
P点座标 测量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
计算值 约(1.5,0.866025)



直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠APB 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠BPC 120° 121° 119.5° 118° 120°
P点座标 测量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
计算值 约(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠APB 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠BPC 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
P点座标 测量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
计算值 约(0.633975,0.633975)
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠APB 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠BPC 119° 120.5° 120° 119° 120°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2.257189,1.381958)

结果：测量值和计算值极为接近，即可证明实验所得之P点为费马点，但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差。
（四） 实验二数据（表二）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)

次数 1 2 3
P点座标 P (2.12,1.31) (1.92,1.31) (1.96,1.30)

(2.08,1.33) (2.15,1.10) (1.95,1.09)

(1.98,2.06) (1.94,1.13) (1.86,1.13)

(2.31,1.13) (2.15,1.17) (1.98,0.97)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.25cm

32.35cm 31.6cm 32.1cm

32.25cm 31.8cm 32.5cm

32.4cm 31.75cm 32.0cm

等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)

次数 1 2 3
P点座标 P (1.54,0.90) (1.56,0.97) (1.72,0.91)

(1.44,0.69) (1.52,0.80) (1.51,0.92)

(1.50,0.66) (1.61,0.74) (1.64,0.68)

(1.46,0.77) (1.48,0.65) (1.43,0.74)
垂直高度 原来高（hP）为35cm
费马点高（h'）为32.3cm

31.9cm 32.1cm 32.0cm

32.1cm 32.2cm 32.15cm

32.2cm 32.3cm 32.25cm
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (0.84,0.74) (0.86,0.64) (0.74,0.69)

(0.96,0.68) (1.00,0.62) (1.06,0.67)

(0.84,0.68) (0.79,0.85) (0.84,0.80)

(0.78,0.54) (0.73,0.74) (0.86,0.79)
垂直高度 原来高（hP）为35.2cm
费马点高（h'）为32.4cm

32.2cm 32.25cm 32.3cm

32.4cm 32.6cm 32.55cm

32.15cm 32.5cm 32.4cm
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)

次数 1 2 3
P点座标 P (0.64,0.61) (0.66,0.53) (0.62,0.66)

(1.12,0.59) (1.06,0.54) (0.95,0.58)

(0.75,0.74) (0.87,0.68) (0.84,0.88)

(0.76,0.66) (0.92,0.57) (0.78,0.82)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.5cm

32.4cm 32.2cm 32.5cm

32.4cm 32.6cm 32.45cm

32.65cm 32.5cm 32.6cm




任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (2.20,1.49) (2.42,1.37) (2.11,1.63)

(2.55,1.57) (2.65,1.40) (2.46,1.27)

(2.26,1.43) (2.47,1.41) (2.44,1.29)

(2.55,1.40) (2.49,1.48) (2.46,1.23)
垂直高度 原来高（hP）为35.5cm
费马点高（h'）为31.5cm

31.5cm 31.35cm 31.65cm

31.3cm 31.6cm 31.5cm

31.55cm 31.4cm 31.5cm

结果：本实验所得之P点与费马点计算值之间存有误差，此乃由於实验中会受到摩擦力等因素的影响。

六、 讨论与应用
（一） 有一角大於或等於120°的三角形中，无法利用作正三角形的作图法求出费马点的位置，因为利用其作图法求出来之P点，会落在三角形之外，不符合P点至三顶点之连线所成的三个角皆等於120°度，且根据证明，费马点和大於或等於120°该角之顶点为同一点。故在此有一角大於120°或等於的三角形不予以讨论。
（二） 虽然凹四边形之对角线交点在外部，但其对角线和P点性质与凸四边形相同，且做法和座标也相同，因此省略不重复列出。
（三） 我们从实验二发现了一项费马点在物理学上的性质：「费马点为三角形中能量最低点」。因为在操作实验二时，无论将P点移至何位置，释放后总是会向原P点位置移动，即可证明原P点为三角形能量最小值之位置。
（四） 实验所得之测量值和计算值极为接近，即可证明实验所得之P点为费马点，但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差。
（五） 费马点在日常生活中也被广泛应用，只要是存在於三点之间，求一点距离和为最小值的情况，都可运用到费马点的性质。例如在三城市中建立一变电所，要如何架设高压电塔以减少电能的浪费，或是三户人家之间挖掘一口井等，皆是费马点运用的例子。
（六） 未来预期利用其它物理学及化学方法等尝试证明初费马点的性质，方法如下：
1. 尝试运用电学方法证明费马点：
在电学中，电阻的大小与电线导体的长度成正比，如果以费马点到三角形三顶点的距离，分别以此量取三段长度的电阻线，并联后的电阻，是否比非费马点的并联电阻为小，试图找出三线并联后的电阻与费马点的关系。
(1) 取一导线和一电阻线串联，再将上述之装置三条并联交於同一电源装置。
(2) 以上述装置的导线与电阻线之交点为三角形的顶点，用木条组装成正三角形。
(3) 将三条电阻线之末端交於三角形内之P点，再与一安培计串联回到电源装置形成通路。
(4) 开启电源，移动P点的位置，找出P点位於何处时电流值最大后将将实验装置垂直置於一座标平面之上方，纪录P点座标，再和（三）求出之P点一次函数，以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合。
(5) 改变三角形的形状并重复操作。
2. 尝试从理论化学观点探讨费马点的性质：
在理论化学的发展上，已经可以以电脑程式模拟小型化学分子的结构状态，并据以求得最稳定存在（能量最小）的分子排列，对一些三角形分子而言（如环乙烯、环乙醚，环乙胺，这些分子和外界原子的排列，在自然状态下，势必要保持最小能量的稳定态，而这些原子间的相关位置，是否和三角形分子构形中的费马点有关，我想藉由一些较简单的化学分子计算软体（MM2,MOPAC），试著找出其中的奥秘。
七、 结论
有关费马点的证明相当多，此次除了找到其数学上一些相关的结果，也利用实验及直角座标探讨费马点在物理上的意义，再一次充分验证了『数学』真为『科学之母』！！
（一） 费马点在数学上有「三夹角皆为120°」及「到三顶点之和为最小值」两种性质，除此之外，在物理学上也有「费马点为三角形中能量最低点」的性质。
（二） 顶角小於120°的等腰三角形，费马点必在底边之高上，且底边长度相同时，费马点为同一点。而四边形之「费马点」即为对角线之交点。
（三） 根据理论推出，费马点至三顶点连成之线段所夹的三个角皆为120°，恰和三力平衡时三力夹角皆为120°的特性相同，因此可用物理学上三力平衡的实验找出费马点之位置。
八、 参考资料及其它
（一） 参考书目
1. 酒井高男著，（1992）力学的趣味实验，亚东书局出版
2. 张景中（1990），数学家的眼光，九章出版
3. 张奠宙、戴再平（1996），生活中的中学数学，九章出版
4. 黄家礼（1997），几何明珠，九章出版
5. 佚名

3，费尔马点

费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。
对于一个锐角三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。
对于直角、钝角三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。

具体内容百度数学吧有介绍：http://post.baidu.com/f?kz=19454286

需要费尔马的资料就太多了

费尔马：

在笛卡儿系统地阐述现代解析几何基础的同时，另一位法国数学天才费尔马(Pierrede Fermat)也注意到这门学科．费尔马要求承认是他发明解析几何的理由是：他在1636年9月给罗伯瓦的一封信中说到，他有这个概念已经七年了．在他死后发表的论著《平面和立体的轨迹引论》(isogoge ad locus planos et solidos)中，记载了这项工作的一些细节．在这里，我们见到了一般直线和圆的方程，以及关于双曲线、椭圆、抛物线的讨论．在一部1637年前完成的、关于切线和求面积的著作中，费尔马解析地定义了许多新的曲线．笛卡儿只提出了很少几种由机械运动生成的新曲线，而费尔马则提出了许多以代数方程定义的新曲线．曲线xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，现在还被称作费尔马的双曲线(hyperbolas)、抛物线(parabolas)和螺线(spirals of Fermat)．费尔马还和别人一起提出了后来被称作阿涅泽的箕舌线(witch of Agnesi)的三次曲线；这曲线是以阿涅泽(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多艺的妇女，是杰出的数学家、语言学家、哲学家和夜游病患者．这样，在很大程度上，笛卡儿从一个轨迹开始然后找它的方程，费尔马则从方程出后，然后来研究轨迹．这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面．费尔马的著作用的是韦达的记号，并且因此，与笛卡儿的较为现代的记号相比，有点象古文．

有一个看来可靠的报告说，费尔马在1601年8月17日出生于图卢兹附近的博芒特．德．洛马格内．他在1665年1月12日死于卡斯特尔或图卢兹，这是人们都知道的．他的墓碑，原来在图卢兹的奥古斯丁教堂，后来移到当地的博物馆；在墓碑上写着上述的死的日期和死时的年龄：五十七岁．但是，这与通常标出的费尔马生卒年(1601？—1665)相抵触．事实上，不同的作者对费尔马的出生年有不同的说法(当然都有其理由)：从1590年到1608年，不等．
费尔马是一个皮革商的儿子，童年是在家里受的教育．三十岁，他得到图卢兹地方议会辩护士的职位．在那里，他谦虚谨慎地干他的工作．他在当卑微的律师时，把自己大量的业余时间用于数学研究．虽然他一辈子发表的著作不多，但他和同时代的许多第一流数学家有科学上的通信关系，并且以这种方式给他的同行以相当大的影响．他以那么多的重要贡献丰富了那么多的数学分支，以致曾被称作十七世纪最伟大的法国数学家．
在费尔马对数学的多种多样的贡献中，最杰出的是对现代数论的奠基．在这个领域中，费尔马有非凡的直觉和能力．最初吸引费尔马注意数论的，也许是梅齐利亚克(Bachetde Meziriac)1621年翻译的丢番图《算术》(Arithmetica)的拉丁文译本．费尔马在此领域的许多贡献就写在他的梅齐利亚克译作手抄本的页边上．1670年，在他死后五年，这些笔记由他的儿子萨穆埃尔(Clement—Samuel)编入《算术》新版(印得不大仔细)发表．许多由费尔马宣布的未被证明的定理，后来已被证明是正确的．现举例说明费尔马的研究趋向：
1．如果p是素数，并且a与p互素，则ap-1-1可被p整除．例如，如果p=5，a=2，ap-1-1=15=(5)(3)．此定理被称作费尔马小定理(little Fermat theo-rem)，是费尔马在1640年10月18日给德贝西(Frenicle de Bessy)的信中给出的，未作证明．欧拉于1736年发表了第一个关于费尔马小定理的证明(参看问题研究10．5)．
2．每一个奇素数可用且仅可用一种方式表为两个平方数之差．费尔马对此命题给了一个简单证明．如果p是一个奇数，则我们容易证明
另一方面，如果p=x2-y2，则p=(x+y)(x-y)．但是，因为p是素数，它只有因数p和1．因此，x+y=p和x-y=1，或x=(p+1)/2和y=(p-1)/2．
3．一个形式为4n+1的素数可以表成两个平方数之和．例如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4．此定理是费尔马在1640年12月25日给梅森的信中最先指出的．欧拉于1754年首先证明了它，并且还证明了这种表达式的唯一性．
4．一个形式为4n+1的素数，作为整数边直角三角形的斜边，仅有一次；其平方有两次；其立方有三次，等等．例如，5=4(1)+1，这时有52=32+42；252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172．
5．每一个非负整数可以表成四个或少于四个平方数的和．这个难证的定理是1770年由拉格朗日证明的．
6．整数边直角三角形的面积不能是一个平方数．这也是后来由拉格朗日证明的．
7．x2+2=y3只有一个整数解；x2+4=y3只有两个整数解．这是向英国数学家们提出的一个竞赛题．第一个方程的解是x=5，y=3；第二个方程的解是x=2，y=2和x=11，y=5．
8．不存在正整数x，y，z，使得x^4+y^4=z2．
9．不存在正整数x，y，z，n，使得xn+yn=zn(当n＞2时)．这个著名的猜想，称为费尔马最后“定理”(Fermat’s last“theorem”)．费尔马把它写在丢番图的梅齐利亚克译本的手抄本第二卷问题8的旁边，这个问题是：“分一给定的平方数为两个平方数．”费尔马的页边评注断定：“分一立方数为两个立方数，分一个四次幂(或者一般地，任何次幂)为两个同次幂，这是不可能的：我确实找到了一个巧妙的证明，但是页边太窄，写不下．”费尔马是否真有此问题的一个完善的证明，也许将永远是个谜！从那时起，许多卓越的数学家曾在此问题上试验他的技巧，但是这一般的猜想，至今仍然期待人们去解决．在别处，费尔马对n=4的情况给出了一个证明：欧拉给出了一个n=3的情况的证明(后来由别人加以完善)．大约1825年，勒让德和狄利克雷独立地对于n=5的情况给出了证明；拉梅于1839年对于n=7证明了此定理．德国数学家库默尔(E．Kummet．1810—1893)对此问题的研究作了有意义的推进．1843年，库默尔向狄利克雷提交了一个书面说明，后者指出了其推理中的一个错误．库默尔回过来重新研究它，又过了几年，在称作理想数理论(The theory of ideals)的高等代数中发展一个与之相联系的重要课题，为费尔马关系式的不可解性导出很一般的条件．现在知道：费尔马的最后“定理”，对于n＜125，000和许多别的特殊的n值，确实成立．1908年，德国数学家瓦尔夫斯克尔给哥廷根科学院留下十万马克，作为这个“定理”的第一个完全证明的奖金．结果，追求名利者提出的证明纷至沓来，并且从那以后，这个问题的业余爱好者简直到处都有，就象对于三等分角和化圆为方问题一样，费尔马的最后“定理”作为数学问题而享有盛名，原因就在于：对于它，已经发表了许多错误证明．
10．费尔马的猜想：对于所有非负数n，f(n)=22n+1是素数．这个猜想已被证明是错误的；欧拉证明了：f(5)是合数．已知：对于5≤n≤16和n的至少四十七个其它值(也许最大的是n=1945)，f(n)是合数．f(5)，f(6)和f(8)的素因子已找到；f(9)的一个素因子已找到．
1879年，在莱顿的图书馆中，在C．惠更斯手稿中间，发现一篇论文，其中，费尔马讲到一种一般方法——他可能曾用它作出他的许多发现．这方法被称作费尔马的无限递降法(method of infinite descent)对于确立否定的结论很有用．这方法，简单地说，是这样的：为了证明与正整数相联系的某关系式是不可能的，假定：反过来，该关系式被一些正整数的特定集合满足．从这假定出发，证明：同样的关系式对另一较小的正整数的集合成立．于是，再用同方法证明：该关系式对于另一个更小的正整数集合成立，等等以至无穷．因为正整数不能无限减小，所以，开始的假定是站不住脚的，因而，原来的关系式不能成立．为了弄清这b是正整数．
我们已经讲过，帕斯卡与费尔马的通讯关系为概率论奠了基．应该记得：它是从所谓得分问题(porblem or the points)开始的：“在两个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何来确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数．”费尔马讨论了一个博弈者A需要2分获胜，另一个博弈者B需要3分获胜的情况．这是费尔马对于此种特殊情况的解．因为，显然最多四次就能决定胜负，令a表示A胜，b表示B胜，考虑a和b两个字母每次取4个的16种排列：
aaaa aaab abba bbab
baaa bbaa abab babb
abaa baba aabb abbb
aaba baab bbba bbbb
a出现等于或多于2次，则A获胜：有11种情况是这样的．b出现等于或多于3次，则B获胜；有5种情况是这样的．所以，赌金应以11∶5的比例划分．对于一般情况：A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们能写出a、b两个字母每次取m+n-1个的2m+n-1种排列．然后，我们找a出现等于或多于m次的α种情况，和b出现等于或多于n次的β种情况．所以，赌金应以α∶β的比例划分．
帕斯卡利用其“算术三角形”解得分问题，在9．9节中讲过．令C(n，r)表示从n件中每次取r件的组合数[参看问题研究9．13(g)]，我们能容易地证明：“算术三角形”的第五条对角线上的数分别为：
C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1．
因为，回到上面讲的特殊的得分问题，C(4，4)是得4个a的方式数，C(4，3)是得3个a的方式数，等等；由此得出：此问题的解为：
[C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1)
=11∶5
对于一般情况，A需要m分获胜，B需要n分获胜，我们选择帕斯卡算术阵的第(m+n)条对角线．然后，我们求此对角线的前n个数的和α和此对角线的最后m个数的和β．于是，赌金应依α∶β的比例划分．
帕斯卡和费尔马在他们1654年的有历史意义的通信中考虑到有关得分问题的其它问题，例如，当博弈者超过两个时，或两个博弈者的技巧参差不齐时，赌金该如何划分．帕斯卡和费尔马的这个工作开数学概率论之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)写关于概率论的第一篇正式论文，就是以帕斯卡—费尔马的通信为基础的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜测术》(Ars conjectandi)在他死后1713年才出版；这部书是这门学科的最优讲述，它包括惠更斯的较早的论文．继这些先行者之后，促进此学科发展的有：棣莫费尔(De Moivre，1667—1754)，丹尼尔．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，欧拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他数学家．
引人入胜并且有些令人惊异的是：数学家们居然有能力发展这样一门学科(即，数学概率论)，它证明的理性的定律能被应用于纯属机遇的场合．这门学科远不是不实际的：通过大试验室中进行的实验，通过与概率有密切关系的保险公司的存在，并通过大商业和战争的推理计算，表明了这一点．
我们在下一章(11．7节)中还要回过来讲费尔马：在那里，讲他将无穷小用于几何(尤其是他在极大值、极小值方面的工作)；就凭这一点，他成了微积分的一位重要的先驱．


费尔马最后的定理（附图）
http://www.wsjk.com.cn/gb/paper18/31/class001800001/hwz179490.htm

费尔马数
http://www.thshx.com/xueshengpindao/shuxueshihua/shuxuequwei/200504/52.html

4，费马点的证明是什么？

当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点。 若仅用平面几何和极少量解析几何知识按下列提法讨论费马问题，则由 1、定义1：在△ABC所在平面上找一点P，使PA+PB+PC的值最小。称P为其最小点。 2、定义2：在△ABC中如果有一点P，使∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°，则称P为其费马点。 定理：如果△ABC的三个内角均小于120°，则其最小点就只能是费马点；如△ABC有一个内角大于等于120°，则该内角的顶点就是最小点。 扩展资料 费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨， 他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。 参考资料来源：百度百科——皮耶·德·费玛 参考资料来源：百度百科——费马问题

5，费马点的证明过程 要详细

1.费马点一定不在三角形外（证明略）
2.当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,
PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC
≌
△AP'C'∵∠BAC
≥
120°∴∠PAP'
=
180°-∠BAP-∠C'AP'
=
180°-∠BAP-∠CAP
=
180°-∠BAC
≤
60°∴等腰三角形PAP'中，AP
≥
PP'∴PA
+
PB
+
PC
≥
PP'
+PB
+
PC'
>
BC'
=
AB
+
AC∴点A即费马点
当三个内角都小于120°时
在△ABC内做一点P，使得∠APC
=∠BPC
=∠CPA
=
120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H
⊥
EF于H易证明∠D
=∠E
=∠F
=
60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)∵P'H
≤
P'A所以2S△EP'F
≤
P'A
·d
①同理有2S△DP'F
≤
P'B·d
②2S△EP'D
≤
P'C·d
③①
+
②
+
③，得
2(S△EP'F
+
S△DP'F
+
S△EP'D)
≤
P'A·d
+
P'B·d
+
P'C·d
∴2S
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)
又∵2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)
∴d(PA
+
PB
+
PC)
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)即PA
+
PB
+
PC
≤
P'A
+
P'B
+
P'C
当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点

6，一个三角形，取一个点使之到三角形三个顶点的距离之和最短，这个点要取在何处？请具体证明，如需讨论请分

楼上的不要乱说啦，我来解答一下，有这样一个点，数学上命名为 “费马点” 具体证明百度搜索“费马点”，百度百科有证明过程。 具体分两类情况 若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。